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\title{HW02 英译中（书12.2和12.4）}
\author{3220101611 韩耀霆}
\date{\today}

\begin{document}

\maketitle

\section{不可压缩纳维-斯托克斯(Navier–Stokes)方程}
二维的不可压缩流体流场完全可由速度矢量 $ q=(u(x,y),v(x,y)) \in \mathbb{R}^{2} $ 和压力 $ p(x,y) \in \mathbb{R} $ 描述，上述函数是下列守恒律方程的解（参见如，Hirsch，1988年） \cite{2007An} ：

 \begin{itemize}
\item 质量守恒
\begin{equation}
    div(q) = 0,\label{eq:mass}
\end{equation}
或者，使用散度算子的显式形式来表示，
\begin{equation}
    \frac{\partial{u}}{\partial{x}}+\frac{\partial{v}}{\partial{y}} = 0.\label{eq:mass divergence}
\end{equation}

\item 紧凑形式的动量守恒方程
\begin{equation}
    \frac{\partial{q}}{\partial{t}}+div(q\otimes{q})=-\mathcal{G}p+\frac{1}{\mathcal{R}e}\bigtriangleup{q},\label{eq:momentum}
\end{equation}
或者，以更明确的形式，
$$
\begin{cases}
    \frac{\partial{u}}{\partial{t}} +
    \frac{\partial{u^2}}{\partial{x}}+
    \frac{\partial{uv}}{\partial{y}}=
    -\frac{\partial{p}}{\partial{x}}+
    \frac{1}{Re}
    (\frac{\partial^{2}{u}}{\partial{x^{2}}}+
    \frac{\partial^{2}{v}}{\partial{y^{2}}}),\\    
    
    \frac{\partial{v}}{\partial{t}} +
    \frac{\partial{uv}}{\partial{x}}+
    \frac{\partial{v^2}}{\partial{y}}=
    -\frac{\partial{p}}{\partial{y}}+
    \frac{1}{Re}
    (\frac{\partial^{2}{u}}{\partial{x^{2}}}+
    \frac{\partial^{2}{v}}{\partial{y^{2}}}).

\label{eq:momentum clear}
\end{cases}
$$
\end{itemize}

之前的方程是用无量纲形式书写的，使用以下标度变量:
\begin{equation}
    x=\frac{x^{*}}{L}, 
    \quad y=\frac{y^{*}}{L},
    \quad u=\frac{u^{*}}{V_{0}},
    \quad v=\frac{u^{*}}{V_{0}},
    \quad t=\frac{t^{*}}{L/V_{0}},
    \quad p=\frac{p^{*}}{{\rho}V^{2}_{0}}.
\label{eq:dimensionl}
\end{equation}
其中，上标(∗) 表示以物理单位测量的变量。L 和 V0 这两个常数分别代表了模拟流动中的参考长度和速度。无量纲数 Re 被称为雷诺数（Reynolds number），它能够量化流动中惯性（或对流）项和粘性（或扩散）项之间的相对重要程度:
\begin{equation}
    Re=\frac{V_{0}L}{v}
\label{eq:Reynolds}
\end{equation}
其中$v$是流动的运动粘度。\\
简而言之，由 （12.2） 和 （12.4） 定义的纳维-斯托克斯系统的偏微分方程问题将有一般数值解;初始条件（$t = 0$）和边界条件也将在上述各章节中讨论。

\section{计算域、交错网格和边界条件}
通过考虑一个处处满足周期边界条件的矩形区域$L_{x} × L_{y}$（见图12.1），我们简化了数值求解维纳-斯托克斯方程的过程。速度$q(x, y)$和压力$p(x, y)$场的周期性在数学上表达为：
\begin{equation}
    q(0, y) = q(L_x, y), p(0, y) = p(L_x, y),\quad  {\forall}y ∈ [0, L_y],
\label{eq:conditions x}
\end{equation}
\begin{equation}
    q(x, 0) = q(x, L_y), p(x, 0) = p(x, L_y),\quad {\forall}x ∈ [0, L_x].
\label{eq:conditions y}
\end{equation}

我们将在域内按照一个矩形和均匀的二维网格来计算解的点。由于在我们的方法中并非所有变量共享相同的网格，因此我们首先定义一个主网格（见图12.1），其中沿$x$方向取$n_x$个计算点，而沿$y$方向取$n_y$个计算点：
\begin{equation}
   x_c(i)=(i − 1){\delta}x, {\delta}x = \frac{L_x}{n_x − 1}, \quad i = 1,...,n_x,
\label{eq:point x}
\end{equation}
\begin{equation}
    y_c(j)=(j − 1){\delta}y, {\delta}y = \frac{L_y}{n_y − 1}, \quad j = 1,...,n_y.
\label{eq:point y}
\end{equation}
\\

\begin{tikzpicture} 
    %12.1.L
    \draw (0 , 0) -- (5.5 , 0) -- (5.5 , 4.5) -- (0 , 4.5) -- cycle; 
    \draw (0.65 , 0.5) -- (5 , 0.5); 
    \draw (0.65 , 0.5) -- (0.65 , 4); 
    
    \draw [red] (0.7,0.5) -- (0.7,3.5) -- (3.7,3.5) -- (3.7,0.5);
    
    \draw [<->,thick] (2.2,0.5) -- (2.2,1.25);
    \draw [<->,thick] (2.2,2.75) -- (2.2,3.5);
    \draw [<->,thick] (0.7,2) -- (1.45,2);
    \draw [<->,thick] (2.95,2) -- (3.7,2);
    
    \node at (0.75,0.3) {0};
    \node at (0.4,0.5) {0};
    \node at (0.2,2) {Y};
    \node at (2.5,0.2) {X};
    \node at (0.45,3.5) {$L_y$};
    \node at (3.7,0.3) {$L_x$};
    
    \node at (2.4,0.7) {periodicity};
    \node at (2.4,3.4) {periodicity};
    \node at (1.5,2.2) {periodicity};
    \node at (3,1.8) {periodicity};
    %12.1.R
    \draw (7 , 0) -- (12.5 ,0) -- (12.5 , 4.5) -- (7 ,4.5) -- cycle; 
    \draw (7.65 , 1) -- (12 , 1); 
    \draw (7.65 , 1) -- (7.65 , 4); 
    
    \draw[green] (7.65,4) -- (10.65,4) -- (10.65,1);
    
    \draw[green] (8.65,1) -- (8.65,4) ;
    \draw[green] (9.65,1) -- (9.65,4) ;
    \draw[green] (7.65,2) -- (10.65,2) ;
    \draw[green] (7.65,3) -- (10.65,3) ;
    
    \node at (7.45,1.15) {0};
    \node at (7.65,0.8) {0};
    \node at (7.45,4) {$L_y$};
    \node at (10.65,0.8) {$L_X$};
    
    \node[rotate=90] at (8.65,0.5) {$x_c(i)$};
    \node[rotate=90] at (9.15,0.5) {$x_m(i)$};
    \node[rotate=90] at (9.65,0.5) {$x_c(i+1)$};
    
    \node at (7.35,2) {$y_c(j)$};
    \node at (7.35,2.5) {$y_m(j)$};
    \node at (7.35,3) {$y_c(j+1)$};
    
    \draw[dashed] (9.15,1) -- (9.15,4) ;
    \draw[dashed] (7.65,2.5) -- (10.65,2.5) ;
    
    \end{tikzpicture}
\begin{center}图12.1.计算域、交错网格和边界条件\end{center}

次级网格由主网格单元的中心确定:
\begin{equation}
    x_m(i)=(i − 1/2){\delta}x, \quad i = 1,...,n_{xm},
\label{eq:second x}
\end{equation}
\begin{equation}
    y_m(j)=(j − 1/2){\delta}y, \quad j = 1,...,n_{ym}.
\label{eq:second y}
\end{equation}
我们采用简化符号$ n_{xm} = n_x−1$, $n_{ym} = n_y−1$。在以矩形$[\,x_c(i)\,, \,x_c(i + 1)] \,×\, [y_c(j), y_c(j + 1)]$定义的计算单元中，未知变量$ u$、$v $和 $p$ 将作为解在不同空间位置的近似值进行计算:
\begin{itemize}
    \item $u(x,y){\approx}u(x_c(i), y_m(j))$ \quad(单元格西侧),
    \item $v(x,y){\approx}v(x_m(i), y_c(j))$ \quad(单元格南侧),
    \item $p(x,y){\approx}p(x_m(i), y_m(j))$ \quad(单元格中心),
\end{itemize}
这种变量的错位排列具有压力和速度之间强耦优势。此外，它还能帮助避免在集中排列（所有变量在同一网格点计算）时出现的稳定性和收敛性问题（请参考本章末尾的参考文献）。

\bibliographystyle{plain}
\bibliography{references.bib}

\end{document}
